emmm，每次更新的定理、命题可能就3到5个，所以这个系列什么时候更完也不知道（主要是懒）

(资料图片)

把抛物线更新得差不多了就更新椭圆（估计要有生之年了）

定义

定义8.抛物线上一点到轴的垂直线段叫做纵标线

定义9.抛物线顶点到轴与纵标线交点的距离叫做横标线

纵标线、横标线是阿波罗尼奥斯引入的，现在这种说法似乎被淘汰了，上百度没有查到此词条

定义10.曲线上任一点所作垂直于该点出切线的直线叫做法线(normal line)

命题

命题5.焦点弦两端的切线相交成直角，且焦点在准线上

如图，FI、HI为抛物线切线，FH为正焦弦，那么就有∠HIF = 90°，且点I在准线上

证明：

过F、H作准线的垂线FJ、HK，连结I、E

先不急着证明点I在准线上

如果I在准线上，也就是说，点F所在的切线与准线交于I

因为PZ是P点处切线

所以∠IEF = 90°（命题4）

那么∠IEH = 90°，由此推出IH为抛物线切线（命题4）

由命题4，不难得出∠HIF = 90°

证毕

命题6.纵标线的平方是顶点到焦点的距离与顶点到纵标线的水平距离之积的四倍

如图，GF² = 4HE · HF

证明：

连结G、E;G、I

OF² = (OH + HF)²

展开得    OH² + 2OH · HF + HF²

又能得到    HE² + 2HE · HF + HF² （定义1）

整理得    (HE - HF)² + 4HE · HF = FE² + 4HE · HF

容易证明四边形OFGI为矩形，因此有

OF² = IG² = EG²

由勾股定理得

FE² + GF² = EG²

于是很快得出    GF² = 4HE · HF

证毕

命题7.一抛物线上的一切线和它的法线与轴的两交点，和抛物线的焦点共圆，且焦点为圆心

如图，直线FH为抛物线切线，直线FG是直线FH的法线，那么就有H、F、G共圆，E为圆心，线段EF、EG、HE长度相等，为⊙E的半径

证明：

过点F作准线的垂线交于点I，则

∠EHF = ∠IFH = ∠FEH（命题4）

因此 HE = EF

又因为 ∠HFG = 90°，所以有E为圆心，HG为直径的圆

因此线段HE、EF、EG相等且为⊙E半径

证毕

本文完